CCF CSP 201509-4.高速公路

问题描述

  某国有n个城市,为了使得城市间的交通更便利,该国国王打算在城市之间修一些高速公路,由于经费限制,国王打算第一阶段先在部分城市之间修一些单向的高速公路。
  现在,大臣们帮国王拟了一个修高速公路的计划。看了计划后,国王发现,有些城市之间可以通过高速公路直接(不经过其他城市)或间接(经过一个或多个其他城市)到达,而有的却不能。如果城市A可以通过高速公路到达城市B,而且城市B也可以通过高速公路到达城市A,则这两个城市被称为便利城市对。
  国王想知道,在大臣们给他的计划中,有多少个便利城市对。

输入格式

  输入的第一行包含两个整数n, m,分别表示城市和单向高速公路的数量。
  接下来m行,每行两个整数a, b,表示城市a有一条单向的高速公路连向城市b

输出格式

  输出一行,包含一个整数,表示便利城市对的数量。

样例输入

5 5
1 2
2 3
3 4
4 2
3 5

样例输出

3

样例说明

img
  城市间的连接如图所示。有3个便利城市对,它们分别是(2, 3), (2, 4), (3, 4),请注意(2, 3)和(3, 2)看成同一个便利城市对。

评测用例规模与约定

  前30%的评测用例满足1 ≤ n ≤ 100, 1 ≤ m ≤ 1000;
  前60%的评测用例满足1 ≤ n ≤ 1000, 1 ≤ m ≤ 10000;
  所有评测用例满足1 ≤ n ≤ 10000, 1 ≤ m ≤ 100000。


分析:

本题考察图的强连通分量

我们只需要统计出在n个城市组成的图中,有多少个强连通分量,每个强连通分量有多少个城市,然后使用高中数学的组合公式,就能够计算出便利城市对的数量。
$$
C_n^2 = \frac{n \times (n-1)}{2 \times 1}
$$
求解有向图中的强连通分量,可以采用tarjan(塔扬)算法

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#include <cstdio>
#include <stack>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int MAX = 10001;
int deep = 0, result = 0;
int low[MAX], dfn[MAX];
bool visited[MAX];

stack<int> st;
vector<int> graph[MAX];

void tarjan(int u) {
low[u] = dfn[u] = ++deep;
visited[u] = true;
st.push(u);
for (int i = 0; i < graph[u].size(); i++) {
int v = graph[u][i];
// v未访问
if (dfn[v] == 0) {
tarjan(v);
low[u] = min(low[u], low[v]);
} else if (visited[v]) { // v已被访问,且尚在栈中
low[u] = min(low[u], dfn[v]);
}
}
if (dfn[u] == low[u]) {
int x, count = 0;
do {
x = st.top();
st.pop();
count++;
visited[x] = false;
} while (u != x);
result += count * (count - 1) / 2;
}
}

int main() {
int n, m, a, b;
scanf("%d %d", &n, &m);
while (m--) {
scanf("%d %d", &a, &b);
graph[a].push_back(b);
}

fill(low, low + n + 1, 0);
fill(dfn, dfn + n + 1, 0);
fill(visited, visited + n + 1, false);

for (int i = 1; i <= n; i++) {
if (dfn[i] == 0) {
tarjan(i);
}
}
printf("%d\n", result);
return 0;
}

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